Cosa è l’implicazione logica e come funziona?

Nell’articolo di oggi ci occupiamo di una classe di test di logica che pone spesso difficoltà di rilievo, cioè i quesiti relativi all’implicazione logica.

Prendiamo in esame la proposizione composta “Se Francesco studierà, supererà l’esame”, formata dalle proposizioni singolari “Francesco studierà” e  “Francesco supererà l’esame” che chiamiamo, rispettivamente, p e q.

La proposizione “Se Francesco studierà, supererà l’esame”, invece, formalizzata, è  p → q, che si legge “se p, allora q” o “p implica q”, e prende appunto il nome di implicazione logica. In tale implicazione, p si chiama antecedente, mentre q è il conseguente.

Sia ora dato il seguente quesito:

  • “Se Francesco studierà, supererà l’esame”. Quindi (una sola opzione è corretta):

a. Se Francesco non studierà, non supererà l’esame

b. Francesco ha superato l’esame, dunque ha studiato

c. Francesco non ha superato l’esame, dunque non ha studiato

d. Francesco ha studiato, ma non è certo che supererà l’esame.

Una sola risposta è corretta, mentre le altre tre, errate, corrispondono ad altrettanti errori tipici. Vediamo l’una e le altre, usando l’occasione per introdurre alcune fondamentali proprietà dell’implicazione logica.

La risposta a NON è una risposta corretta, il che è in parte contro-intuivo. L’implicazione p → q stabilisce, in modo vincolante, che se p, allora certamente q.

Questa relazione si esprime anche dicendo che p è condizione sufficiente di q (in un’implicazione l’antecedente è condizione sufficiente del conseguente).

Vale a dire, il verificarsi della condizione o evento P, espressa dalla proposizione p, basta a produrre la condizione o evento Q, espressa dalla proposizione q.

La prima proprietà rilevante dell’implicazione logica è che tale relazione non è reversibile, vale a dire, dal fatto che p → q NON consegue che q → p. Per tale ragione, anche la risposta b non è accettabile, e corrisponde anzi ad un errore tipico (cioè postulare la reversibilità dell’implicazione).

Ma torniamo alla risposta a, sulla quale dobbiamo ancora dire qualcosa. Anche in questo caso, la relazione non è valida a partire dall’implicazione di partenza. La non validità di tale relazione è del resto un corollario della non reversibilità.

Infatti: “Se Francesco studia supera l’esame”, come detto, non significa che se supera l’esame allora ha certamente studiato (non reversibilità). In altri termini, potrebbe, in linea di principio, superare l’esame anche in forza di altre condizioni diverse dall’aver studiato, per esempio essendo molto fortunato!

Da questo stesso ragionamento, come vedi, consegue anche che non è detto che non studiando Francesco non possa superare l’esame (stando all’implicazione, si intende!).

Anche la d risulta falsa, infatti, come ora sappiamo, se Francesco studierà è del tutto certo che passerà l’esame.

Veniamo ora alla risposta c. E’ questa la nostra risposta corretta:  se Francesco non supera l’esame, possiamo essere certi che non ha studiato. Infatti, come sappiamo, se avesse studiato, lo avrebbe certamente passato!

E’ questo, per altro, il solo modo corretto di invertire un’implicazione e possiamo dunque estrarre una regola generale per l’individuazione della corretta opzione di risposta per questa classe di quesiti:

Nell’implicazione derivata, dobbiamo trovare, all’antecedente, il conseguente dell’implicazione di partenza, negato. Analogamente, anche al conseguente troveremo l’antecedente della prima, negato.

Esemplifichiamo la regola ricorrendo ad alcuni esempi (corredati, per maggior chiarezza, delle relative formalizzazioni):

  • Se piove, prendo l’ombrello. Ma non ho l’ombrello, dunque non sta piovendo.

(  p →  q)  →  (non-q → non-p)

  • Se c’è traffico, non prendo la macchina. Ma ho preso la macchina, dunque non c’è traffico.

(  p → non-q) →  (q → non-p)

  • Se non ti allenerai, non vincerai la gara. Hai vinto la gara, significa che ti sei allenato.

(  non-p  →  non-q)  →  (q → p)

È chiaro, ora, il meccanismo? Per completare il quadro dell’implicazione logica, ci rimane di occuparci dell’implicazione bidirezionale. Lo faremo nel prossimo articolo.