Saper gestire la condizione sufficiente, necessaria e necessaria e sufficiente nei test di logica

Capita molto spesso, nell’ambito della risoluzione dei test di logica e nei quiz con prove psicoattitudinali, di avere a che fare con le regole logiche di condizione sufficiente, necessaria e necessaria e sufficiente. In un mio precedente articolo ci siamo occupati della relazione di condizione sufficiente.

Rimando all’articolo, ricordando qui, solo per comodità e per continuità di lettura, che la relazione di condizione sufficiente si riferisce al quadro dell’implicazione logica, o meglio all’implicazione semplice o unidirezionale, che è una tipologia di proposizione composta, cioè ottenuta unendo due o più proposizioni elementari mediante l’uso di un connettivo.

Una proposizione di questo tipo si indica con  pq (“Se p, allora q” oppure “p implica q”); inoltre, p prende il nome di antecedente e q di conseguente. Infine, l’antecedente è detto condizione sufficiente del conseguente. Procediamo ora a completare il nostro esame del dispositivo dell’implicazione, in quanto le proprietà che abbiamo fin qui considerato riguardano appunto l’implicazione semplice, o unidirezionale, e cioè la relazione di condizione sufficiente, ma si danno anche la relazione di condizione necessaria e quella di condizione necessaria e sufficiente. Da un punto di vista linguistico, queste tre diverse relazioni si trovano introdotte di norma nel modo seguente:

  • condizione sufficiente: introdotta da “Se”, per esempio: “Se il vaso cade, allora si rompe”;
  • condizione necessaria: introdotta da “Solamente”, per esempio: “Solamente se il vaso cade, si rompe”;
  • condizione necessaria e sufficiente: introdotta da “Se e solo se”, per esempio “Se e solo se il vaso cade, si rompe”.

Dopo aver chiarito che sono tre relazioni diverse e che godono pertanto di proprietà diverse, riprendiamo gli schemi già introdotti nel precedente articolo dedicato all’implicazione unidirezionale, ordinandoli e sistematizzandoli, per arrivare ad una chiara formalizzazione delle tre relazioni.

Formalizzazione delle tre relazioni

Prendiamo in considerazione gli schemi riportati ed esemplificati di seguito, premettendo che quelli validi ovvero non validi cambiano secondo che parliamo della condizione sufficiente, (“Se”), della condizione necessaria (“Solamente”), ovvero della condizione necessaria e sufficiente: (“Se e solo se”):

1.1     (p → q) → (¬ q → ¬ p)

1.2.    (p → ¬ q) → (q → ¬ p)

1.3.    (¬ p → ¬ q) → (q → p)

1.4.    (¬ p → q) → (¬ q → p)

Questi primi quattro schemi sono, in realtà, varianti di una stessa formula di base, e cioè la seguente: nell’implicazione derivata troviamo, all’antecedente, il conseguente dell’implicazione di partenza, negato. Analogamente, al conseguente dell’implicazione derivata troveremo l’antecedente dell’implicazione di partenza, negato.

Si vede facilmente che da questa formula derivano tutti e quattro gli schemi di cui sopra. La numerazione (1.1, 1.2 ecc.) sta appunto a indicare la riduzione dei quattro schemi a uno solo. Questa formula è verificata per la relazione di condizione sufficiente e definisce l’unico modo corretto di invertire un’implicazione.

Per esempio, data l’implicazione di partenza “Se il vaso cade, si rompe” (p → q) dal fatto che il vaso non è rotto (¬ q) posso concludere in modo certo che non è caduto (¬ p): se fosse caduto, infatti, si sarebbe certamente rotto (lo schema di riferimento è dunque lo 1.1). A questo schema generale aggiungiamo ora i due seguenti:

  1. (p → q) → (q → p)
  2. (p → q) → (¬ p → ¬ q)

Questi due schemi, invece, nel caso dell’implicazione unidirezionale, e cioè della relazione di condizione sufficiente, NON sono validi (postularne la validità corrisponde dunque e errori tipici). Esemplificando sullo schema 2: partendo dall’implicazione “se il vaso cade, si rompe”, NON consegue che se il vaso è rotto allora è certamente caduto (vale a dire si possono dare cause di rottura anche diverse dalla caduta).

Ovviamente, così come i primi 4 schemi sono varianti di uno stesso schema di base, anche nel caso dello schema n. 2 occorrerebbe per completezza articolare i sotto-casi. Avremmo quindi: 2.1: (p → ¬ q) → (¬ q → p) eccetera e lo stesso vale per lo schema 3. Non lo facciamo per esteso soltanto per non compromettere la semplicità espositiva.

Ora, con riferimento al dispositivo dell’implicazione si danno tre relazioni distinte: condizione sufficiente (generalmente introdotta da “Se”), condizione necessaria (generalmente introdotta da “Solamente”) e condizione necessaria e sufficiente (generalmente introdotta da “Se e solo se”). Per la formalizzazione delle tre condizioni usiamo gli schemi, avvertendo che per ciascuna cambiano gli schemi validi e non validi.

Vediamo dunque, in dettaglio, gli schemi validi e non validi secondo le tre condizioni:

  • “Se” (condizione sufficiente)

Come abbiamo visto è valido lo schema generale 1 (quale dei quattro si applichi dipende ovviamente dal caso, se antecedente e conseguente nell’implicazione di partenza siano affermativi o negativi) ma non il 2 e il 3.

Esemplificando: “Se il vaso cade, allora si rompe”. Come sappiamo: se il vaso cade allora certamente si rompe, quindi se p allora q, ma la relazione non è reversibile (quindi 2 e 3 non valgono). In compenso: se il vaso non è rotto sono certo che non è caduto, quindi vale lo schema 1.

  • “Solamente” (condizione necessaria)

Esemplificando: “Solamente se il vaso cade, si rompe”. La prima differenza dalla condizione sufficiente è che da p, q può seguire o non seguire. Il vaso si rompe solamente se cade (cioè non si danno cause di rottura diverse dalla caduta), ma se cade, non è detto che si rompa. Invece, se è rotto è certamente caduto perché non si danno altre condizioni, quindi la relazione è reversibile. Valgono quindi gli schemi 2 e 3, ma non gli schemi sotto lo schema generale 1: il vaso può non essere rotto e tuttavia non per questo è impossibile che sia caduto, non c’è contraddizione logica in questo. In una proposizione di questo tipo l’antecedente è detto condizione necessaria del conseguente.

  • “Se e solo se” (condizione necessaria e sufficiente)

Esemplificando: “Se e solo se il vaso cade, si rompe”. È facile vedere, unendo le considerazioni svolte sulla condizione sufficiente e su quella necessaria, che in questo caso sono validi tutti gli schemi! La condizione necessaria e sufficiente è espressa dall’implicazione bidirezionale, per rappresentare la quale si usa il simbolo ↔, per cui si ha pq.

Abbiamo pienamente formalizzato un ambito ostico, per quanto riguarda i test di logica, i quali sono alla base di alcuni quesiti che pongono difficoltà di rilievo. Non ti rimane che applicare gli schemi alla soluzione dei quesiti per verificarne l’efficacia.

Riepilogando e concludendo:

  • Condizione sufficiente: è introdotta da “Se”, per esempio: “Se il vaso cade, allora si rompe” – Sono validi gli schemi sotto 1, ma non il 2 e il 3.
  • Condizione necessaria: è introdotta da “Solamente”, per esempio: “Solamente se il vaso cade, si rompe” – Sono validi solo gli schemi 2 e 3, ma non quelli sotto 1.
  • Condizione necessaria e sufficiente: è introdotta da “Se e solo se”, per esempio “Se e solo se il vaso cade, si rompe” – Sono validi tutti gli schemi da 1 a 3.

(grazie a Maria, a Pierluigi e a quanti tra i miei corsisti e lettori con i loro dubbi e le loro domande hanno alimentato il mio sforzo di produrre una piena sistemazione dell’argomento)